Construction des arbres de probabilités

On considère deux événements  \(\text A\)  et  \(\text B\)  de probabilité non nulle dans un univers  `\Omega` .
On peut construire l'arbre de probabilités suivant :

Remarque

Dans la construction de l'arbre on a utilisé le fait que tout événement et son contraire forment une partition de l'univers.
Sur la seconde partie de l'arbre sont représentées des probabilités conditionnelles.

Vocabulaire et point méthode

• Chaque point à l'origine de deux ou plusieurs segments (branches de l'arbre) s'appelle nœud. La somme des probabilités des événements issus d'un même nœud est égale à 1.
  
• L'intersection de deux événements est représentée par un chemin de deux branches successives reliant l'origine de l'arbre et les événements qu'on intersecte. Sur l'arbre précédent, le chemin composé de la branche allant de l'origine de l'arbre à   \(\text B\)  en passant par \(\text A\) représente l'événement \(\text{A} \cap \text B\) . Sa probabilité se calcule en multipliant entre elles les probabilités inscrites sur chacune des deux branches du chemin.
  
• La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de toutes les branches menant à l'événement mentionné. Sur l'arbre précédent, deux chemins relient l'origine à l'événement \(\text B\) . La probabilité de \(\text B\) s'obtient, ainsi, en additionnant entre elles les probabilités des événements représentés par ces deux chemins.
  Ceci correspond à la formule des probabilités totales :  \(P(\text B) = P(\text A \cap \text B) + P(\overline{ \text A} \cap \text B)\) .